\documentclass[a4paper,UTF8]{article}
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\newcommand{\va}{\vec{a}}
\newcommand{\vb}{\vec{b}}
\newcommand{\vc}{\vec{c}}
\newcommand{\vi}{\vec{i}}
\newcommand{\vj}{\vec{j}}
\newcommand{\vk}{\vec{k}}

\begin{document}
\section{矢量点积与叉积}
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vb|\cos<\va,\vb>
$$
$$\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vb|\sin<\va,\vb>$$
右手定则；\\
基本性质：
$$\va\times\va=\vec{0}$$
$$\va\times\vb=-\vb\times\va$$
$$\va\times\left(\vb+\vc\right)=\va\times\vb+\va\times\vc$$
$$\va\times(\lambda\vb)=\lambda\left(\va\times\vb\right)=(\lambda\va)\times\vb$$
三叉积公式：
$$\va\times(\vb\times\vc)=(\va\cdot\vc)\vb-(\va\cdot\vb)\vc$$
坐标系：
$$\vi\cdot\vj=\vj\cdot\vk=\vk\cdot\vi=0$$
$$\vi^2=\vj^2=\vk^2=1$$
$$\vi\times\vi=\vj\times\vj=\vk\times\vk=\vec{0}$$
$$\vi\times\vj=\vk,\vj\times\vk=\vi,\vk\times\vi=\vj$$
$$\va\times\vb=a_xb_y-a_yb_x$$
圆周运动.
\section{牛顿三定律与非惯性系初步}
\newcommand{\p}{\vec{p}}
\newcommand{\F}{\vec{F}}
\renewcommand{\v}{\vec{v}}
\renewcommand{\a}{\vec{a}}
\newcommand{\x}{\vec{x}}
\subsection{牛顿三定律}
$$\p=m\v$$
$$\F=m\a$$
$$\F=\frac{d\p}{dt}$$
\subsection{参考系初步}
记 $S'$ 系为非惯性系，$S$ 系为惯性系，$S'$ 相对于 $S$ 以恒定加速度 $\va_0$ 运动，$S'$ 系原点在 $S$ 系的位置矢量为 $\x_0$；\\
观察可得：
$$\x'=\x-\x_0$$
求一阶导：
$$\v'=\v-\v_0$$
$$\a'=\a-\a_0$$
在 $S$ 系中，由牛二可知， $\F=m\a$；在 $S'$ 系中力不会变化；有：
$$\F=m\a'+m\a_0$$
即：
$$\F-m\a_0=m\a'$$
此处 $-m\a_0$ 即为惯性力，为牛二在非惯性系下的修正.\\
\subsection{斜面与小木块问题.}
\subsubsection{斜面固定}
$$F=mg\sin\theta-\mu_1 mg\cos \theta$$
$$a=\frac{F}m = g\sin\theta-\mu_1\cos\theta$$
$$t=\sqrt{ \frac{2s}{a} }=\sqrt{ \frac{2s}{g \left(\sin\theta-\mu_1 \cos\theta\right)} }$$
\subsubsection{斜面在粗糙平面}
对于 $M$ ，有：
$$Ma_M=T\sin\theta -\mu_2 (Mg+T\cos\theta)$$
在 $M$ 的非惯性系看 $m$ ，有：
$$T=mg\cos\theta-ma_M\sin\theta$$
$$m{a'}_m=mg\sin\theta-\mu_1 T+ma_M\cos\theta$$
联立，解之得：
$$T=mg\cos\theta-\frac{m}{M}\sin\theta(T\sin\theta - \mu_2 (Mg+T\cos\theta))$$
$$T\frac{M+m\sin\theta(\sin\theta-\mu_2\cos\theta)}{M}=mg(\cos\theta-\mu_2\sin\theta)$$
$$T=\frac{Mmg(\cos\theta-\mu_2\sin\theta)}{M+m\sin\theta(\sin\theta-\mu_2\cos\theta)}$$
$$ma_M=\frac{mg\cos\theta-T}{\sin\theta}$$
$$ma'_m=mg\sin\theta-(\mu_1+\frac{\cos\theta}{\sin\theta})T+mg\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
$$a'_m=g\sin\theta-\frac{\mu_1\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\frac{Mg(\cos\theta-\mu_2\sin\theta)}{M+m\sin\theta(\sin\theta-\mu_2\cos\theta)}+g\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
$$t=\sqrt\frac{2s}{a}=\sqrt\frac{2s}{g\left(\sin\theta-\frac{\mu_1\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\frac{M(\cos\theta-\mu_2\sin\theta)}{M+m\sin\theta(\sin\theta-\mu_2\cos\theta)}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)}$$
等效原理与平衡球.\\
\subsection{潮汐的计算}
地球的加速度为 $a_0=\frac{GM_sM_e}{r_{es}^2}\cdot\frac{1}{M_e}=\frac{GM_s}{r_{es}^2}$ \\
在垂直于地心-太阳连线的地点，高为 $h$ 处，惯性力与太阳引力之差在径向的分量（也即太阳引力的分量，因为惯性力垂直于该方向）：
$$\Delta F=\frac{GM_sm}{\left(r_{es}^2+h^2\right)^{\frac{3}{2}}}h$$
该力对整个水井作累加，有：
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        F_{\text{垂直}}&=\int_{h=0}^{h_1}\frac{GM_s}{\left(r_{es}^2+h^2\right)^{\frac{3}{2}}}h\cdot\rho\Delta S dh\\
        &\approx \int_{h=0}^{h_1} \frac{GM_s}{r_{es}^3}h\cdot\rho\Delta S dh\\
        &=\frac{GM_s\rho\Delta S h_1^2}{2r_{es}^3}
    \end{aligned}
\end{equation*}
在地心-太阳的连线，高为 $h$ 处，惯性力与太阳引力之差为：
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \Delta F&=\frac{GM_sm}{\left(r_{es}-h\right)^2}-a_0m\\
        &=\frac{GM_s m}{r_{es}^2}\left(-1+\left(1-\frac{h}{r_{es}}\right)^{-2}\right)\\
        &\approx \frac{GM_s m}{r_{es}^2} \cdot \frac{2h}{r_{es}}
    \end{aligned}
\end{equation*}
累加，得到：
$$F_{\text{共线}}=\int_{h=0}^{h_2} \frac{2GM_s\rho\Delta S hdh}{r_{es}^3}=\frac{GM_s\rho\Delta S h_2^2}{r_{es}^3}$$
而深井处水压相等，即：
$$F_{\text{共线重力}}-F_{\text{共线}}=F_{\text{垂直重力}}+F_{\text{垂直}}$$
注意到 $h_2-h_1 << r_e,|h_2-R_e| << r_e, |h_1-R_e| << r_e$ ，有 $F_{\text{共线重力}}-F_{\text{垂直重力}}=\frac{GM_e \rho \Delta S (h_2-h_1)}{r_e^2}$，所以：
$$\frac{G M_e \Delta S \rho}{r_e^2}(h_2-h_1)=\frac{3GM_s\rho \Delta S r_e^2}{2 r_{es}^3}$$
因此潮汐高度：
$$\Delta h=\frac{3M_sr_e^4}{2M_er_{es}^3}$$
\end{document}
